线性代数

行列式

1.行列式按行（列）展开定理

(1) 设A=(aij)n×nA = ( a_{{ij}} )_{n \times n}A=(aij)n×n，则：ai1Aj1+ai2Aj2+⋯+ainAjn={∣A∣,i=j0,i≠ja_{i1}A_{j1} +a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{{in}}A_{{jn}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}ai1Aj1+ai2Aj2+⋯+ainAjn={∣A∣,i=j0,i=j

或a1iA1j+a2iA2j+⋯+aniAnj={∣A∣,i=j0,i≠ja_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{{ni}}A_{{nj}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}a1iA1j+a2iA2j+⋯+aniAnj={∣A∣,i=j0,i=j即 AA∗=A∗A=∣A∣E,AA^{*} = A^{*}A = \left| A \right|E,AA∗=A∗A=∣A∣E,其中：A∗=(A11A12…A1nA21A22…A2n…………An1An2…Ann)=(Aji)=(Aij)TA^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A_{n1} & A_{n2} & \ldots & A_{{nn}} \\ \end{pmatrix} = (A_{{ji}}) = {(A_{{ij}})}^{T}A∗=⎝⎜⎜⎜⎛A11A21…An1A12A22…An2…………A1nA2n…Ann⎠⎟⎟⎟⎞=(Aji)=(Aij)T

Dn=∣11…1x1x2…xn…………x1n−1x2n−1…xnn−1∣=∏1≤j<i≤n(xi−xj)D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1…x1n−11x2…x2n−1…………1xn…xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∏1≤j<i≤n(xi−xj)

(2) 设$A,B$为$n$阶方阵，则$\left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|=\left|B\right|\left|A\right|=\left|BA\right|$，但$\left|A\pm B\right|=\left|A\right|\pm \left|B\right|$不一定成立。

(3) ∣kA∣=kn∣A∣\left| {kA} \right| = k^{n}\left| A \right|∣kA∣=kn∣A∣,$A$为$n$阶方阵。

(4) 设$A$为$n$阶方阵，∣AT∣=∣A∣;∣A−1∣=∣A∣−1|A^{T}| = |A|;|A^{- 1}| = |A|^{- 1}∣AT∣=∣A∣;∣A−1∣=∣A∣−1（若$A$可逆），∣A∗∣=∣A∣n−1|A^{*}| = |A|^{n - 1}∣A∗∣=∣A∣n−1

$n\ge 2$

(5) ∣AOOB∣=∣ACOB∣=∣AOCB∣=∣A∣∣B∣\left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad C} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {C\quad B} \\ \end{matrix} \right| =| A||B|∣∣∣∣∣AOOB∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣ACOB∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣AOCB∣∣∣∣∣=∣A∣∣B∣ ，$A,B$为方阵，但∣OAm×mBn×nO∣=(−1)mn∣A∣∣B∣\left| \begin{matrix} {O} & A_{m \times m} \\ B_{n \times n} & { O} \\ \end{matrix} \right| = ({- 1)}^{{mn}}|A||B|∣∣∣∣∣OBn×nAm×mO∣∣∣∣∣=(−1)mn∣A∣∣B∣ 。

(6) 范德蒙行列式Dn=∣11…1x1x2…xn…………x1n−1x2n1…xnn−1∣=∏1≤j<i≤n(xi−xj)D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1…x1n−11x2…x2n1…………1xn…xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∏1≤j<i≤n(xi−xj)

设$A$是$n$阶方阵，λi(i=1,2⋯,n)\lambda_{i}(i = 1,2\cdots,n)λi(i=1,2⋯,n)是$A$的$n$个特征值，则 ∣A∣=∏i=1nλi|A| = \prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}∣A∣=∏i=1nλi

矩阵

矩阵：$m\times n$个数aija_{{ij}}aij排成$m$行$n$列的表格[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯⋯am1am2⋯amn]\begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\quad\cdots\quad a_{1n} \\ a_{21}\quad a_{22}\quad\cdots\quad a_{2n} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{m1}\quad a_{m2}\quad\cdots\quad a_{{mn}} \\ \end{bmatrix}⎣⎢⎢⎢⎡a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯⋯am1am2⋯amn⎦⎥⎥⎥⎤ 称为矩阵，简记为$A$，或者(aij)m×n\left( a_{{ij}} \right)_{m \times n}(aij)m×n 。若$m=n$，则称$A$是$n$阶矩阵或$n$阶方阵。

矩阵的线性运算

1.矩阵的加法

设A=(aij),B=(bij)A = (a_{{ij}}),B = (b_{{ij}})A=(aij),B=(bij)是两个$m\times n$矩阵，则$m\times n$ 矩阵C=cij)=aij+bijC = c_{{ij}}) = a_{{ij}} + b_{{ij}}C=cij)=aij+bij称为矩阵$A$与$B$的和，记为$A+B=C$ 。

2.矩阵的数乘

设A=(aij)A = (a_{{ij}})A=(aij)是$m\times n$矩阵，$k$是一个常数，则$m\times n$矩阵(kaij)(ka_{{ij}})(kaij)称为数$k$与矩阵$A$的数乘，记为$kA$。

3.矩阵的乘法

设A=(aij)A = (a_{{ij}})A=(aij)是$m\times n$矩阵，B=(bij)B = (b_{{ij}})B=(bij)是$n\times s$矩阵，那么$m\times s$矩阵C=(cij)C = (c_{{ij}})C=(cij)，其中cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+ainbnj=∑k=1naikbkjc_{{ij}} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{{in}}b_{{nj}} = \sum_{k =1}^{n}{a_{{ik}}b_{{kj}}}cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+ainbnj=∑k=1naikbkj称为$AB$的乘积，记为$C=AB$ 。

4. AT\mathbf{A}^{\mathbf{T}}AT、A−1\mathbf{A}^{\mathbf{-1}}A−1、A∗\mathbf{A}^{\mathbf{*}}A∗三者之间的关系

(1) (AT)T=A,(AB)T=BTAT,(kA)T=kAT,(A±B)T=AT±BT{(A^{T})}^{T} = A,{(AB)}^{T} = B^{T}A^{T},{(kA)}^{T} = kA^{T},{(A \pm B)}^{T} = A^{T} \pm B^{T}(AT)T=A,(AB)T=BTAT,(kA)T=kAT,(A±B)T=AT±BT

(2) (A−1)−1=A,(AB)−1=B−1A−1,(kA)−1=1kA−1,\left( A^{- 1} \right)^{- 1} = A,\left( {AB} \right)^{- 1} = B^{- 1}A^{- 1},\left( {kA} \right)^{- 1} = \frac{1}{k}A^{- 1},(A−1)−1=A,(AB)−1=B−1A−1,(kA)−1=k1A−1,

但 (A±B)−1=A−1±B−1{(A \pm B)}^{- 1} = A^{- 1} \pm B^{- 1}(A±B)−1=A−1±B−1不一定成立。

(3) (A∗)∗=∣A∣n−2 A  (n≥3)\left( A^{*} \right)^{*} = |A|^{n - 2}\ A\ \ (n \geq 3)(A∗)∗=∣A∣n−2 A  (n≥3)，(AB)∗=B∗A∗,\left({AB} \right)^{*} = B^{*}A^{*},(AB)∗=B∗A∗, (kA)∗=kn−1A∗  (n≥2)\left( {kA} \right)^{*} = k^{n -1}A^{*}{\ \ }\left( n \geq 2 \right)(kA)∗=kn−1A∗  (n≥2)

但(A±B)∗=A∗±B∗\left( A \pm B \right)^{*} = A^{*} \pm B^{*}(A±B)∗=A∗±B∗不一定成立。

(4) (A−1)T=(AT)−1, (A−1)∗=(AA∗)−1,(A∗)T=(AT)∗{(A^{- 1})}^{T} = {(A^{T})}^{- 1},\ \left( A^{- 1} \right)^{*} ={(AA^{*})}^{- 1},{(A^{*})}^{T} = \left( A^{T} \right)^{*}(A−1)T=(AT)−1, (A−1)∗=(AA∗)−1,(A∗)T=(AT)∗

5.有关A∗\mathbf{A}^{\mathbf{*}}A∗的结论

(1) AA∗=A∗A=∣A∣EAA^{*} = A^{*}A = |A|EAA∗=A∗A=∣A∣E

(2) ∣A∗∣=∣A∣n−1 (n≥2),    (kA)∗=kn−1A∗,  (A∗)∗=∣A∣n−2A(n≥3)|A^{*}| = |A|^{n - 1}\ (n \geq 2),\ \ \ \ {(kA)}^{*} = k^{n -1}A^{*},{{\ \ }\left( A^{*} \right)}^{*} = |A|^{n - 2}A(n \geq 3)∣A∗∣=∣A∣n−1 (n≥2),    (kA)∗=kn−1A∗,  (A∗)∗=∣A∣n−2A(n≥3)

(3) 若$A$可逆，则A∗=∣A∣A−1,(A∗)∗=1∣A∣AA^{*} = |A|A^{- 1},{(A^{*})}^{*} = \frac{1}{|A|}AA∗=∣A∣A−1,(A∗)∗=∣A∣1A

(4) 若$A$为$n$阶方阵，则：

r(A∗)={n,r(A)=n1,r(A)=n−10,r(A)<n−1r(A^*)=\begin{cases}n,\quad r(A)=n\\ 1,\quad r(A)=n-1\\ 0,\quad r(A)<n-1\end{cases}r(A∗)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧n,r(A)=n1,r(A)=n−10,r(A)<n−1

6.有关A−1\mathbf{A}^{\mathbf{- 1}}A−1的结论

$A$可逆$\iff AB=E;\iff |A|\ne 0;\iff r(A)=n;$

$\iff A$可以表示为初等矩阵的乘积；$\iff Ax=0$只有零解。

7.有关矩阵秩的结论

(1) 秩$r(A)$=行秩=列秩；

(2) r(Am×n)≤min⁡(m,n);r(A_{m \times n}) \leq \min(m,n);r(Am×n)≤min(m,n);

(3) $A\ne 0\Rightarrow r(A)\ge 1$；

(4) $r(A\pm B)\le r(A)+r(B);$

(5) 初等变换不改变矩阵的秩

(6) $r(A)+r(B)-n\le r(AB)\le \min (r(A),r(B)),$特别若$AB=O$ 则：$r(A)+r(B)\le n$

(7) 若A−1A^{- 1}A−1存在$\Rightarrow r(AB)=r(B);$ 若B−1B^{- 1}B−1存在 $\Rightarrow r(AB)=r(A);$

若r(Am×n)=n⇒r(AB)=r(B);r(A_{m \times n}) = n \Rightarrow r(AB) = r(B);r(Am×n)=n⇒r(AB)=r(B); 若r(Am×s)=n⇒r(AB)=r(A)r(A_{m \times s}) = n\Rightarrow r(AB) = r\left( A \right)r(Am×s)=n⇒r(AB)=r(A)。

(8) r(Am×s)=n⇔Ax=0r(A_{m \times s}) = n \Leftrightarrow Ax = 0r(Am×s)=n⇔Ax=0只有零解

8.分块求逆公式

(AOOB)−1=(A−1OOB−1)\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}(AOOB)−1=(A−1OOB−1)； (ACOB)−1=(A−1−A−1CB−1OB−1)\begin{pmatrix} A & C \\ O & B \\\end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}& - A^{- 1}CB^{- 1} \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}(AOCB)−1=(A−1O−A−1CB−1B−1)；

(AOCB)−1=(A−1O−B−1CA−1B−1)\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}&{O} \\ - B^{- 1}CA^{- 1} & B^{- 1} \\\end{pmatrix}(ACOB)−1=(A−1−B−1CA−1OB−1)； (OABO)−1=(OB−1A−1O)\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \\ \end{pmatrix}^{- 1} =\begin{pmatrix} O & B^{- 1} \\ A^{- 1} & O \\ \end{pmatrix}(OBAO)−1=(OA−1B−1O)

这里$A$，$B$均为可逆方阵。

向量

1.有关向量组的线性表示

(1)α1,α2,⋯,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs线性相关$\iff$至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2)α1,α2,⋯,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs线性无关，α1,α2,⋯,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs，$\beta$线性相关$\iff \beta$可以由α1,α2,⋯,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs唯一线性表示。

(3) $\beta$可以由α1,α2,⋯,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs线性表示 ⇔r(α1,α2,⋯,αs)=r(α1,α2,⋯,αs,β)\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)⇔r(α1,α2,⋯,αs)=r(α1,α2,⋯,αs,β) 。

2.有关向量组的线性相关性

(1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关.

(2) ① $n$个$n$维向量 α1,α2⋯αn\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}α1,α2⋯αn线性无关⇔∣[α1α2⋯αn]∣≠0\Leftrightarrow \left|\left\lbrack \alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n} \right\rbrack \right| \neq0⇔∣[α1α2⋯αn]∣=0， $n$个$n$维向量α1,α2⋯αn\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}α1,α2⋯αn线性相关 ⇔∣[α1,α2,⋯,αn]∣=0\Leftrightarrow |\lbrack\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\rbrack| = 0⇔∣[α1,α2,⋯,αn]∣=0 。

② $n+1$个$n$维向量线性相关。

③ 若α1,α2⋯αS\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{S}α1,α2⋯αS线性无关，则添加分量后仍线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关。

3.有关向量组的线性表示

(1) α1,α2,⋯,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs线性相关$\iff$至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2) α1,α2,⋯,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs线性无关，α1,α2,⋯,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs，$\beta$线性相关$\iff \beta$ 可以由α1,α2,⋯,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs唯一线性表示。

(3) $\beta$可以由α1,α2,⋯,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs线性表示 ⇔r(α1,α2,⋯,αs)=r(α1,α2,⋯,αs,β)\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)⇔r(α1,α2,⋯,αs)=r(α1,α2,⋯,αs,β)

4.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

设r(Am×n)=rr(A_{m \times n}) =rr(Am×n)=r，则$A$的秩$r(A)$与$A$的行列向量组的线性相关性关系为：

(1) 若r(Am×n)=r=mr(A_{m \times n}) = r = mr(Am×n)=r=m，则$A$的行向量组线性无关。

(2) 若r(Am×n)=r<mr(A_{m \times n}) = r < mr(Am×n)=r<m，则$A$的行向量组线性相关。

(3) 若r(Am×n)=r=nr(A_{m \times n}) = r = nr(Am×n)=r=n，则$A$的列向量组线性无关。

(4) 若r(Am×n)=r<nr(A_{m \times n}) = r < nr(Am×n)=r<n，则$A$的列向量组线性相关。

5.$\mathbf{n}$维向量空间的基变换公式及过渡矩阵

若α1,α2,⋯,αn\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}α1,α2,⋯,αn与β1,β2,⋯,βn\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}β1,β2,⋯,βn是向量空间$V$的两组基，则基变换公式为：

(β1,β2,⋯,βn)=(α1,α2,⋯,αn)[c11c12⋯c1nc21c22⋯c2n⋯⋯⋯⋯cn1cn2⋯cnn]=(α1,α2,⋯,αn)C(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}) = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})\begin{bmatrix} c_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n} \\ c_{21}& c_{22}&\cdots & c_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ c_{n1}& c_{n2} & \cdots & c_{{nn}} \\\end{bmatrix} = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})C(β1,β2,⋯,βn)=(α1,α2,⋯,αn)⎣⎢⎢⎢⎡c11c21⋯cn1c12c22⋯cn2⋯⋯⋯⋯c1nc2n⋯cnn⎦⎥⎥⎥⎤=(α1,α2,⋯,αn)C

其中$C$是可逆矩阵，称为由基α1,α2,⋯,αn\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}α1,α2,⋯,αn到基β1,β2,⋯,βn\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}β1,β2,⋯,βn的过渡矩阵。

6.坐标变换公式

若向量$\gamma$在基α1,α2,⋯,αn\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}α1,α2,⋯,αn与基β1,β2,⋯,βn\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}β1,β2,⋯,βn的坐标分别是 X=(x1,x2,⋯,xn)TX = {(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})}^{T}X=(x1,x2,⋯,xn)T，

Y=(y1,y2,⋯,yn)TY = \left( y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} \right)^{T}Y=(y1,y2,⋯,yn)T 即： γ=x1α1+x2α2+⋯+xnαn=y1β1+y2β2+⋯+ynβn\gamma =x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \cdots + x_{n}\alpha_{n} = y_{1}\beta_{1} +y_{2}\beta_{2} + \cdots + y_{n}\beta_{n}γ=x1α1+x2α2+⋯+xnαn=y1β1+y2β2+⋯+ynβn，则向量坐标变换公式为$X=CY$ 或Y=C−1XY = C^{- 1}XY=C−1X，其中$C$是从基α1,α2,⋯,αn\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}α1,α2,⋯,αn到基β1,β2,⋯,βn\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}β1,β2,⋯,βn的过渡矩阵。

7.向量的内积

(α,β)=a1b1+a2b2+⋯+anbn=αTβ=βTα(\alpha,\beta) = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n} = \alpha^{T}\beta = \beta^{T}\alpha(α,β)=a1b1+a2b2+⋯+anbn=αTβ=βTα

8.Schmidt正交化

若α1,α2,⋯,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs线性无关，则可构造β1,β2,⋯,βs\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}β1,β2,⋯,βs使其两两正交，且βi\beta_{i}βi仅是α1,α2,⋯,αi\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{i}α1,α2,⋯,αi的线性组合$(i=1,2,\cdots ,n)$，再把βi\beta_{i}βi单位化，记γi=βi∣βi∣\gamma_{i} =\frac{\beta_{i}}{\left| \beta_{i}\right|}γi=∣βi∣βi，则γ1,γ2,⋯,γi\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{i}γ1,γ2,⋯,γi是规范正交向量组。其中 β1=α1\beta_{1} = \alpha_{1}β1=α1， β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1\beta_{2} = \alpha_{2} -\frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}β2=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1 ， β3=α3−(α3,β1)(β1,β1)β1−(α3,β2)(β2,β2)β2\beta_{3} =\alpha_{3} - \frac{(\alpha_{3},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} -\frac{(\alpha_{3},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2}β3=α3−(β1,β1)(α3,β1)β1−(β2,β2)(α3,β2)β2 ，

…

βs=αs−(αs,β1)(β1,β1)β1−(αs,β2)(β2,β2)β2−⋯−(αs,βs−1)(βs−1,βs−1)βs−1\beta_{s} = \alpha_{s} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2} - \cdots - \frac{(\alpha_{s},\beta_{s - 1})}{(\beta_{s - 1},\beta_{s - 1})}\beta_{s - 1}βs=αs−(β1,β1)(αs,β1)β1−(β2,β2)(αs,β2)β2−⋯−(βs−1,βs−1)(αs,βs−1)βs−1

9.正交基及规范正交基

向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基。

线性方程组

1．克莱姆法则

线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots +a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} =b_{2} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{{nn}}x_{n} = b_{n} \\ \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn，如果系数行列式$D=\left|A\right|\ne 0$，则方程组有唯一解，x1=D1D,x2=D2D,⋯,xn=DnDx_{1} = \frac{D_{1}}{D},x_{2} = \frac{D_{2}}{D},\cdots,x_{n} =\frac{D_{n}}{D}x1=DD1,x2=DD2,⋯,xn=DDn，其中DjD_{j}Dj是把$D$中第$j$列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式。

2. $n$阶矩阵$A$可逆$\iff Ax=0$只有零解。$\iff \forall b,Ax=b$总有唯一解，一般地，r(Am×n)=n⇔Ax=0r(A_{m \times n}) = n \Leftrightarrow Ax= 0r(Am×n)=n⇔Ax=0只有零解。

3.非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构

(1) 设$A$为$m\times n$矩阵，若r(Am×n)=mr(A_{m \times n}) = mr(Am×n)=m，则对$Ax=b$而言必有$r(A)=r(A⋮b)=m$，从而$Ax=b$有解。

(2) 设x1,x2,⋯xsx_{1},x_{2},\cdots x_{s}x1,x2,⋯xs为$Ax=b$的解，则k1x1+k2x2⋯+ksxsk_{1}x_{1} + k_{2}x_{2}\cdots + k_{s}x_{s}k1x1+k2x2⋯+ksxs当k1+k2+⋯+ks=1k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 1k1+k2+⋯+ks=1时仍为$Ax=b$的解；但当k1+k2+⋯+ks=0k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 0k1+k2+⋯+ks=0时，则为$Ax=0$的解。特别x1+x22\frac{x_{1} + x_{2}}{2}2x1+x2为$Ax=b$的解；2x3−(x1+x2)2x_{3} - (x_{1} +x_{2})2x3−(x1+x2)为$Ax=0$的解。

(3) 非齐次线性方程组$Ax=b$无解⇔r(A)+1=r(A‾)⇔b\Leftrightarrow r(A) + 1 =r(\overline{A}) \Leftrightarrow b⇔r(A)+1=r(A)⇔b不能由$A$的列向量α1,α2,⋯,αn\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}α1,α2,⋯,αn线性表示。

4.奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解

(1) 齐次方程组$Ax=0$恒有解(必有零解)。当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此$Ax=0$的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是$n-r(A)$，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系。

(2) η1,η2,⋯,ηt\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}η1,η2,⋯,ηt是$Ax=0$的基础解系，即：

1. η1,η2,⋯,ηt\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}η1,η2,⋯,ηt是$Ax=0$的解；

2. η1,η2,⋯,ηt\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}η1,η2,⋯,ηt线性无关；

3. $Ax=0$的任一解都可以由η1,η2,⋯,ηt\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}η1,η2,⋯,ηt线性表出. k1η1+k2η2+⋯+ktηtk_{1}\eta_{1} + k_{2}\eta_{2} + \cdots + k_{t}\eta_{t}k1η1+k2η2+⋯+ktηt是$Ax=0$的通解，其中k1,k2,⋯,ktk_{1},k_{2},\cdots,k_{t}k1,k2,⋯,kt是任意常数。

矩阵的特征值和特征向量

1.矩阵的特征值和特征向量的概念及性质

(1) 设$\lambda$是$A$的一个特征值，则 kA,aA+bE,A2,Am,f(A),AT,A−1,A∗{kA},{aA} + {bE},A^{2},A^{m},f(A),A^{T},A^{- 1},A^{*}kA,aA+bE,A2,Am,f(A),AT,A−1,A∗有一个特征值分别为 kλ,aλ+b,λ2,λm,f(λ),λ,λ−1,∣A∣λ,{kλ},{aλ} + b,\lambda^{2},\lambda^{m},f(\lambda),\lambda,\lambda^{- 1},\frac{|A|}{\lambda},kλ,aλ+b,λ2,λm,f(λ),λ,λ−1,λ∣A∣,且对应特征向量相同（ATA^{T}AT 例外）。

(2)若λ1,λ2,⋯,λn\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}λ1,λ2,⋯,λn为$A$的$n$个特征值，则∑i=1nλi=∑i=1naii,∏i=1nλi=∣A∣\sum_{i= 1}^{n}\lambda_{i} = \sum_{i = 1}^{n}a_{{ii}},\prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}= |A|∑i=1nλi=∑i=1naii,∏i=1nλi=∣A∣ ,从而$|A|\ne 0\iff A$没有特征值。

(3)设λ1,λ2,⋯,λs\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}λ1,λ2,⋯,λs为$A$的$s$个特征值，对应特征向量为α1,α2,⋯,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs，

若: α=k1α1+k2α2+⋯+ksαs\alpha = k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \cdots + k_{s}\alpha_{s}α=k1α1+k2α2+⋯+ksαs ,

则: Anα=k1Anα1+k2Anα2+⋯+ksAnαs=k1λ1nα1+k2λ2nα2+⋯ksλsnαsA^{n}\alpha = k_{1}A^{n}\alpha_{1} + k_{2}A^{n}\alpha_{2} + \cdots +k_{s}A^{n}\alpha_{s} = k_{1}\lambda_{1}^{n}\alpha_{1} +k_{2}\lambda_{2}^{n}\alpha_{2} + \cdots k_{s}\lambda_{s}^{n}\alpha_{s}Anα=k1Anα1+k2Anα2+⋯+ksAnαs=k1λ1nα1+k2λ2nα2+⋯ksλsnαs 。

2.相似变换、相似矩阵的概念及性质

(1) 若$A\sim B$，则

1. AT∼BT,A−1∼B−1,,A∗∼B∗A^{T} \sim B^{T},A^{- 1} \sim B^{- 1},,A^{*} \sim B^{*}AT∼BT,A−1∼B−1,,A∗∼B∗

2. ∣A∣=∣B∣,∑i=1nAii=∑i=1nbii,r(A)=r(B)|A| = |B|,\sum_{i = 1}^{n}A_{{ii}} = \sum_{i =1}^{n}b_{{ii}},r(A) = r(B)∣A∣=∣B∣,∑i=1nAii=∑i=1nbii,r(A)=r(B)

3. $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$，对$\forall \lambda$成立

3.矩阵可相似对角化的充分必要条件

(1)设$A$为$n$阶方阵，则$A$可对角化$\iff$对每个kik_{i}ki重根特征值λi\lambda_{i}λi，有n−r(λiE−A)=kin-r(\lambda_{i}E - A) = k_{i}n−r(λiE−A)=ki

(2) 设$A$可对角化，则由P−1AP=Λ,P^{- 1}{AP} = \Lambda,P−1AP=Λ,有A=PΛP−1A = {PΛ}P^{-1}A=PΛP−1，从而An=PΛnP−1A^{n} = P\Lambda^{n}P^{- 1}An=PΛnP−1

(3) 重要结论

1. 若$A\sim B,C\sim D$，则[AOOC]∼[BOOD]\begin{bmatrix} A & O \\ O & C \\\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} B & O \\ O & D \\\end{bmatrix}[AOOC]∼[BOOD].

2. 若$A\sim B$，则$f(A)\sim f(B),\left|f(A)\right|\sim \left|f(B)\right|$，其中$f(A)$为关于$n$阶方阵$A$的多项式。

3. 若$A$为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重根重复计算)＝秩($A$)

4.实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵

(1)相似矩阵：设$A,B$为两个$n$阶方阵，如果存在一个可逆矩阵$P$，使得B=P−1APB =P^{- 1}{AP}B=P−1AP成立，则称矩阵$A$与$B$相似，记为$A\sim B$。

(2)相似矩阵的性质：如果$A\sim B$则有：

1. AT∼BTA^{T} \sim B^{T}AT∼BT

2. A−1∼B−1A^{- 1} \sim B^{- 1}A−1∼B−1 （若$A$，$B$均可逆）

3. Ak∼BkA^{k} \sim B^{k}Ak∼Bk （$k$为正整数）

4. $\left|\lambda E-A\right|=\left|\lambda E-B\right|$，从而$A,B$ 有相同的特征值

5. $\left|A\right|=\left|B\right|$，从而$A,B$同时可逆或者不可逆

6. 秩$\left(A\right)=$秩$\left(B\right),\left|\lambda E-A\right|=\left|\lambda E-B\right|$，$A,B$不一定相似

二次型

1.$\mathbf{n}$个变量x1,x2,⋯,xn\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{,\cdots,}\mathbf{x}_{\mathbf{n}}x1,x2,⋯,xn的二次齐次函数

f(x1,x2,⋯,xn)=∑i=1n∑j=1naijxiyjf(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j =1}^{n}{a_{{ij}}x_{i}y_{j}}}f(x1,x2,⋯,xn)=∑i=1n∑j=1naijxiyj，其中aij=aji(i,j=1,2,⋯,n)a_{{ij}} = a_{{ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)aij=aji(i,j=1,2,⋯,n)，称为$n$元二次型，简称二次型. 若令x= [x1x1xn],A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯an1an2⋯ann]x = \ \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix},A = \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ a_{n1}& a_{n2} & \cdots & a_{{nn}} \\\end{bmatrix}x= ⎣⎢⎢⎢⎢⎡x1x1⋮xn⎦⎥⎥⎥⎥⎤,A=⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋯an1a12a22⋯an2⋯⋯⋯⋯a1na2n⋯ann⎦⎥⎥⎥⎤,这二次型$f$可改写成矩阵向量形式f=xTAxf =x^{T}{Ax}f=xTAx。其中$A$称为二次型矩阵，因为aij=aji(i,j=1,2,⋯,n)a_{{ij}} =a_{{ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)aij=aji(i,j=1,2,⋯,n)，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵$A$的秩称为二次型的秩。

2.惯性定理，二次型的标准形和规范形

(1) 惯性定理

对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理。

(2) 标准形

二次型f=(x1,x2,⋯,xn)=xTAxf = \left( x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} \right) =x^{T}{Ax}f=(x1,x2,⋯,xn)=xTAx经过合同变换$x=Cy$化为f=xTAx=yTCTACf = x^{T}{Ax} =y^{T}C^{T}{AC}f=xTAx=yTCTAC

y=∑i=1rdiyi2y = \sum_{i = 1}^{r}{d_{i}y_{i}^{2}}y=∑i=1rdiyi2称为 $f(r\le n)$的标准形。在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由$r(A)$唯一确定。

(3) 规范形

任一实二次型$f$都可经过合同变换化为规范形f=z12+z22+⋯zp2−zp+12−⋯−zr2f = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + \cdots z_{p}^{2} - z_{p + 1}^{2} - \cdots -z_{r}^{2}f=z12+z22+⋯zp2−zp+12−⋯−zr2，其中$r$为$A$的秩，$p$为正惯性指数，$r-p$为负惯性指数，且规范型唯一。

3.用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性

设$A$正定⇒kA(k>0),AT,A−1,A∗\Rightarrow {kA}(k > 0),A^{T},A^{- 1},A^{*}⇒kA(k>0),AT,A−1,A∗正定；$|A|>0$,$A$可逆；aii>0a_{{ii}} > 0aii>0，且∣Aii∣>0|A_{{ii}}| > 0∣Aii∣>0

$A$，$B$正定$\Rightarrow A+B$正定，但$AB$，$BA$不一定正定

$A$正定⇔f(x)=xTAx>0,∀x≠0\Leftrightarrow f(x) = x^{T}{Ax} > 0,\forall x \neq 0⇔f(x)=xTAx>0,∀x=0

$\iff A$的各阶顺序主子式全大于零

$\iff A$的所有特征值大于零

$\iff A$的正惯性指数为$n$

$\iff$存在可逆阵$P$使A=PTPA = P^{T}PA=PTP

$\iff$存在正交矩阵$Q$，使QTAQ=Q−1AQ=(λ1⋱λn),Q^{T}{AQ} = Q^{- 1}{AQ} =\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & \\ \begin{matrix} & \\ & \\ \end{matrix} &\ddots & \\ & & \lambda_{n} \\ \end{pmatrix},QTAQ=Q−1AQ=⎝⎜⎜⎜⎛λ1⋱λn⎠⎟⎟⎟⎞,

其中λi>0,i=1,2,⋯,n.\lambda_{i} > 0,i = 1,2,\cdots,n.λi>0,i=1,2,⋯,n.正定⇒kA(k>0),AT,A−1,A∗\Rightarrow {kA}(k >0),A^{T},A^{- 1},A^{*}⇒kA(k>0),AT,A−1,A∗正定； $|A|>0,A$可逆；aii>0a_{{ii}} >0aii>0，且∣Aii∣>0|A_{{ii}}| > 0∣Aii∣>0 。